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Historique

Au poker, la probabilité de chaque type de main de 5 cartes peut être calculée en calculant la proportion de mains de ce type parmi toutes les mains possibles.

La probabilité et le jeu étaient une idée bien avant l’invention du poker. Le développement de la théorie des probabilités à la fin des années 1400 a été attribué au jeu; En jouant à un jeu aux enjeux élevés, les joueurs voulaient savoir quelles seraient les chances de gagner. En 1494, Fra Luca Paccioli publia son ouvrage Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportita, qui fut le premier texte écrit sur les probabilités. Motivé par les travaux de Paccioli, Girolamo Cardano (1501-1576) approfondit la théorie des probabilités. Son ouvrage de 1550, intitulé Liber de Ludo Aleae, traitait des concepts de probabilité et de la manière dont ils étaient directement liés au jeu. Cependant, son travail n’a pas reçu de reconnaissance immédiate puisqu’il n’a été publié qu’après sa mort. Blaise Pascal (1623-1662) a également contribué à la théorie des probabilités. Son ami, Chevalier de Méré, était un joueur passionné dans le but d’en devenir riche. De Méré a essayé une nouvelle approche mathématique d’un jeu de hasard mais n’a pas obtenu les résultats souhaités. Déterminé à savoir pourquoi sa stratégie échoua, il consulta Pascal. Les travaux de Pascal sur ce problème ont donné lieu à une importante correspondance entre lui et son collègue mathématicien Pierre de Fermat (1601-1665). Communiquant par lettres, les deux hommes ont continué à échanger leurs idées et leurs pensées. Ces interactions ont conduit à la conception de la théorie de probabilité de base. À ce jour, de nombreux joueurs s’appuient encore sur les concepts de base de la théorie des probabilités pour prendre des décisions éclairées tout en jouant.

Le tableau suivant énumère la fréquence (absolue) de chaque main, toutes combinaisons de 5 cartes confondues. tiré au hasard d’un jeu complet de 52 sans remplacement. Les jokers ne sont pas pris en compte. Dans ce tableau:

Fréquence des mains de poker à 5 cartes

La fonction nCr de la plupart des calculatrices scientifiques peut être utilisée pour calculer la fréquence des mains; En entrant nCr avec 52 et 5, par exemple, on obtient (52 5) = 2, 598, 960 { displaystyle { begin {matrix} {52 choisir 5} = 2 598 960 end {matrix}}} comme ci-dessus.

La quinte royale est un cas de quinte flush. Il peut être formé de 4 manières (une pour chaque couleur), ce qui lui donne une probabilité de 0,000154% et une cote de 649 739: 1.

Lorsque les lignes droites d’as-bas et les quintes droites d’as-bas ne sont pas comptées, la les probabilités de chacun sont réduites: les lignes droites et les quintes flush deviennent 9/10 aussi communes qu’elles le seraient autrement. Les 4 quintes flushes manquantes deviennent des flushes et les 1 020 droites manquées ne deviennent pas une paire.

Probabilité de poker

Notez que comme les couleurs n’ont pas de valeur relative au poker, deux mains peuvent être considérées comme identiques si une main peut être transformée en une autre en changeant de costume. Par exemple, la main 3 ♣ 7 ♣ 8 ♣ Q ♠ A ♠ est identique à 3 ♦ 7 ♦ 8 ♦ Q ♥ A ♥ car le remplacement de tous les clubs de la première main par des diamants et de toutes les bêches avec des coeurs produit la seconde. main. Donc, en éliminant les mains identiques qui ignorent les valeurs de costume relatives, il n’y a que 134 459 mains distinctes.

Le nombre de mains de poker distinctes est encore plus petit. Par exemple, 3 ♣ 7 ♣ 8 ♣ Q ♠ A ♠ et 3 ♦ 7 8 ♦ Q ♥ A ♥ ne sont pas des mains identiques si vous ignorez simplement les affectations de couleur, car une main a trois couleurs, l’autre de deux. pourrait affecter la valeur relative de chaque main quand il y a plus de cartes à venir. Cependant, même si les mains ne sont pas identiques de ce point de vue, elles forment quand même des mains de poker équivalentes, car chaque main est une main de carte haute A-Q-8-7-3. Il existe 7 462 mains de poker distinctes.

Dans certaines variantes populaires du poker, telles que le Texas Hold ‘Em, un joueur utilise la meilleure main de cinq cartes sur sept. Les fréquences sont calculées d’une manière similaire à celle indiquée pour les mains de 5 cartes, à l’exception des complications supplémentaires dues aux deux cartes supplémentaires dans la main de poker à 7 cartes. Le nombre total d’aiguilles distinctes à 7 cartes est (52 7) = 133, 784, 560 { displaystyle { begin {matrix} {52 choose 7} = 133 784 560 end {matrix}}}. Il est à noter que la probabilité d’une main sans paire est inférieure à la probabilité d’une main avec une paire ou deux paires.

Fréquence des mains de poker lowball à 5 ​​cartes

La couleur ou la Quinte Royale As-haute est légèrement plus fréquente (4324) que la Quinte Flush inférieure (4140 chacune) car les deux cartes restantes peuvent avoir n’importe quelle valeur; Une quinte flush très haute, par exemple, ne peut pas avoir l’as de son costume dans la main (car cela la ferait plutôt as-high).

(Les fréquences indiquées sont exactes; les probabilités et les probabilités sont approximatifs.)

Etant donné que les combinaisons n’ont aucune valeur relative au poker, deux mains peuvent être considérées comme identiques si une main peut être transformée en une autre par échange de combinaisons. L’élimination des mains identiques qui ignorent les valeurs de costume relatives laisse 6 009 159 mains à 7 cartes distinctes.

Recherche

Le nombre de mains de poker distinctes à 5 cartes possibles à partir de 7 cartes est de 4 824. Peut-être étonnamment, c’est moins que le nombre de mains de poker à 5 cartes à partir de 5 cartes, car certaines mains à 5 cartes sont impossibles avec 7 cartes (par exemple, 7 en haut).

Certaines variantes du poker, appelées lowball , utilisez une main basse pour déterminer la main gagnante. Dans la plupart des variantes de lowball, l’as est compté comme la carte la plus basse et les quintes et les couleurs ne comptent pas pour une main basse. La main la plus basse est donc la main à cinq mains hautes, A-2-3-4-5, aussi appelée roue. La probabilité est calculée sur la base de (52 5) = 2, 598, 960 { displaystyle { begin {matrix} {52} choisissez 5} = 2 598 960 end {matrix}}}, soit le nombre total de combinaisons de 5 cartes. (Les fréquences données sont exactes, les probabilités et les probabilités sont approximatives.)

Comme on peut le voir sur la table, un peu plus de la moitié du temps où un joueur reçoit une main sans paire, à trois ou quatre de genre. (50.7%)

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Si les as ne sont pas faibles, faites simplement pivoter les descriptions des mains de sorte que 6-haut remplace 5-haut pour la meilleure main et as-haut remplace très haute comme la pire main.

Dans certaines variantes du poker, un joueur utilise la meilleure main basse de cinq cartes choisie parmi sept cartes. Dans la plupart des variantes de lowball, l’as est compté comme la carte la plus basse et les quintes et les couleurs ne comptent pas pour une main basse. La main la plus basse est donc la main à cinq mains hautes, A-2-3-4-5, aussi appelée roue. La probabilité est calculée sur la base de (52 7) = 133, 784, 560 { displaystyle { begin {matrix} {52 choisissez 7} = 133 784 560 end {matrix}}}, soit le nombre total de combinaisons de 7 cartes.

Le tableau ne s’étend pas pour inclure les mains à cinq cartes avec au moins une paire. Son total représente les 95,4% du temps qu’un joueur peut sélectionner une main basse de 5 cartes sans aucune paire.

(Les fréquences indiquées sont exactes, les probabilités et les probabilités sont approximatives.)

Si les as ne sont pas faibles, faites simplement pivoter les descriptions des mains pour que 6-haut remplace 5-haut pour la meilleure main et que As-haut remplace roi-haut comme la plus mauvaise main.